Lógica Proposicional

LA LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional se ocupa de proposiciones. Con «proposición» entendemos una frase sobre la cual es sensato preguntar si es verdadera o falsa. Ordinariamente las proposiciones están expresadas en modo 

indicativo. Las frases interrogativas, dubitativas, imperativas o exclamativas no son consideradas como proposiciones. La relación que hay entre frases y proposiciones es tal que entre muchas frases sólo un grupo determinado vale como un conjunto de proposiciones, es decir, aquel que comprende frases que describiendo afirman algo. Casi es más fácil enumerar cuales frases no son proposiciones. Esto vale para las siguientes: 

1. frases interrogativas, dubitativas, imperativas 

2. frases modales: frases con los términos «posible», «necesario», 

«incondicionado», etc. 

3. frases no bien formuladas: «entonces y así hizo» 

4. frases sin sentido: «los libros lloran rocas emplumadas» 

5. formas proposicionales: «la empresa de la limpieza utiliza x para 

limpiar los paños»

La formalización de las proposiciones 

Como tendremos que trabajar continuamente con proposiciones, podría resultar ventajoso utilizar una abreviación, o bien, como dicen los lógicos, llevar a cabo una formalización. Los matemáticos expresan sus incógnitas con «x», «y», etc. Análogamente nosotros representaremos con «p», «q», etc. no los números y, ni siquiera, vocablos individuales, sino frases enteras, o mejor: proposiciones. Ya que las letras toman el puesto de as proposiciones, las llamamos variables proposicionales. Si tratamos una proposición concreta, la podemos simbolizar como constante con una letra mayúscula.Ejemplo:

El gallo está enfermo            simbólicamente: G 

Está prohibido sin embargo representar dos proposiciones diversas con la misma letra dentro del mismo contexto. Por tanto: 

 El gallo canta y Felipe se despierta 

 G y G falso 

 G y F justo

La formalización de los conectivos entre las proposiciones

Ahora podemos familiarizarnos con la formalización de los nexos entre proposiciones. Lo haremos valiéndonos de dos proposiciones: «el sol resplandece» y «Guillermo va a la montaña». La simbolización procede así: 

 S El sol resplandece 

 G Guillermo va a la montaña 

 ¬ S El sol no resplandece 

 ¬ G Guillermo no va a la montaña 

Correspondientemente: 

 S ∧ G El sol resplandece y Guillermo va a la montaña 

 S ∨ G El sol resplandece o Guillermo va a la montaña 

 S → G Si el sol resplandece, entonces Guillermo va a la montaña

S ↔ G Si y sólo si el sol resplandece, Guillermo va a la montaña.

Regla de los paréntesis 

Como pueden unirse no sólo dos proposiciones sino también un número 

arbitrario de las mismas, si no se presta atención pueden nacer equívocos 

como en el caso siguiente: 

(1) A ∨ B → C 

Esta expresión puede interpretarse de dos modos distintos: 

(1ª) (A ∨ B) → C o bien 

(1b) A ∨ (B → C) 

(1ª) Si Alberto o Bárbara van al cine, entonces Claudia se queda en casa. 

(1b) Alberto va al cine, o bien si Bárbara va al cine, entonces Claudia se 

queda en casa. 

Síntesis de algunas expresiones especializadas

Valores de verdad de los conectivos lógicos

Reciproco, Contra-reciproco e Inverso

Dada una implicación 

p: Es un animal mamífero

q: Tiene pelo

Si es mamífero entonces tiene pelo

Reciproca:  Si tiene pelo entonces es mamífero 
Contra reciproca: Si no tiene pelo entonces no es mamífero
Inversa o Contraria: Si no es mamífero entonces no tiene pelo

Tablas de verdad

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos,Ø, Ù, Ú, ®, «,como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.

Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por verdaderos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por falsos.

Contingencia es una proposición que estará formada por verdaderos y falsos.